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Plan détaillé - Formule de Stirling

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1) L'idée de base est celle de trouver un développement limité de b_n en l'infini et d'en extraire son terme prépondérant. On commence par simplifier b_n. Puisque et on obtient . La fonction standard à reconnaître est ln(1+x) avec . On sait que son développement limité à l'ordre n au voisinage de zéro est . D'où (on aura besoin du développement à l'ordre 3). Ainsi ou or et est déjà un  . Finalement, après simplifications, on obtient et donc .

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2) D'après le résultat de la question 1) on sait que la série de terme général b_n est absolument convergente. Soit la somme partielle associée à b_n. On a . Notez que . Puisque la suite converge il en est de même de et donc de . On pose, tel que suggéré, .

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3) Ainsi de sorte que . Puisque on obtient soit ou i.e. .

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4) a- Il s'agit des intégrales de Wallis. D'où la notation! Ces intégrales font souvent l'objet d'une colle ou d'une partie de problème. Pour établir  la relation de récurrence on intègre par parties.

Écrivez sous la forme puis transformez en . Il en résulte que soit . Posez alors . Afin d'intégrer par parties notez   et . Il en résulte que soit . Cela donne lieu à la relation et donc .

On calcule et . De fait (relation de récurrence) puis et ... ce qui donne . Observez qu'en dehors du le dénominateur est ce qui manque au numérateur pour faire (2p)! et que ce dénominateur n'est autre que . Ainsi c'est le résultat annoncé. De la même façon on obtient .

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b- Le sinus d'un angle t compris entre 0 et étant positif et inférieur ou égal à 1 on a sur cet intervalle. Par intégration pour tout entier n. La suite est donc décroissante. D'autre part rapport qui tend vers 1 en l'infini. D'où . Comme on en déduit . Or tend vers 1 en l'infini. Il en est donc de même pour autrement dit .

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c- Les expressions du 4)-a donnent . D'après 4)-b . Aussi 2p+1∼2p en l'infini. Ainsi et puisque les intégrales de Wallis sont positives. Comme  on en déduit i.e. .

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d- D'après le 3) et d'après le 4)-c . Or le quotient de ces deux expressions est constant égal à . On en déduit que . Finalement nous tirons du 3) la fameuse formule de Stirling: en l'infini ce qui se simplifie en .