Exercices - Réussir en Prépa

La formule de Stirling

On considère la suite (a_n) définie pour tout entier n non nul par

.

1) Trouver un équivalent, quand n tend vers l'infini, de

.

2) En déduire que la limite de

, quand n tend vers l'infini, existe. On notera L cette limite.

3) Trouver, en fonction de L, un équivalent de n! quand n tend vers l'infini. En déduire un équivalent de

en fonction de L et de n.

4) On pose

Montrer que pour n entier naturel, . En déduire les relations suivantes:

et
Montrer en utilisant sa définition que (W_n) est décroissante, puis en utilisant les expressions précédentes que . En déduire que: .
Calculer (2p+1)W_2p+1W_2p. En déduire que , puis un équivalent de .
Calculer L en comparant les résultats obtenus au 3) et au 4)-b. En déduire un équivalent de n! en fonction de n.

La formule de Stirling

Cliquez ici pour un traitement détaillé