La formule de Stirling
On considère la suite (an)
définie pour tout entier n non nul par
.
1) Trouver un équivalent, quand n tend vers l'infini, de
.
2) En déduire que la limite de
,
quand n tend vers l'infini, existe. On notera L cette limite.
3) Trouver, en fonction de L, un équivalent de n! quand n tend vers l'infini. En déduire un équivalent de
en fonction de L et de n.
4) On pose
.
- Montrer que pour n entier naturel,
. En déduire les relations
suivantes:
et
![[Graphics:http://www.reussirenprepa.fr/images_math/Stirling_gr_9.gif]](http://www.reussirenprepa.fr/images_math/Stirling_gr_9.gif)
- Montrer en utilisant sa définition que (Wn)
est décroissante, puis en utilisant les expressions précédentes que
.
En déduire que:
.
- Calculer (2p+1)W2p+1W2p. En déduire que
,
puis un équivalent de
.
- Calculer L en comparant les résultats obtenus au 3) et au 4)-b. En déduire un équivalent de n! en fonction de n.