Soutien - Réussir en Prépa

La formule de Stirling

Suggestion : Pour utiliser un indice glissez simplement votre souris sur la première icone qui suit votre question (lecture de gauche à droite).

Formule de Stirling

On considère la suite (a_n) définie pour tout entier n non nul par

.

1) Trouver un équivalent, quand n tend vers l'infini, de

2) En déduire que la limite de

, quand n tend vers l'infini, existe.

On notera L cette limite.

3) Trouver, en fonction de L, un équivalent de n! quand n tend vers l'infini.

En déduire un équivalent de

en fonction de L et de n.

4) On pose

Montrer que pour n entier naturel, . En déduire les relations suivantes:

et .
Montrer en utilisant sa définition que (W_n) est décroissante , puis en utilisant les expressions précédentes que . En déduire que: .
Calculer (2p+1)W_2p+1W_2p . En déduire que , puis un équivalent de .
Calculer L en comparant les résultats obtenus au 3) et au 4)-b. En déduire un équivalent de n! en fonction de n.

Cet exercice est assez riche.

Pour une solution détaillée tapez sur l'épaule de l'artiste!

À retenir également :

la formule démontrée est celle de Stirling (mathématicien écossais, 1692-1770). James Stirling fut, dit-on, découvert par Newton.
Les W_n introduites ici sont les fameuses intégrales de Wallis. La question 4)-a permet d'évaluer maturité et habileté calculatoire. Prenez un crayon et affutez votre chrono. Visez les 5 minutes; soyez en dedans des 10 minutes!
C'est à John Wallis (mathématicien anglais, 1616-1703) que l'on doit le symbole de l'infini.
Wallis a contribué au développement du calcul infinitésimal (différentiel et intégral) attribué aujourd'hui à Leibniz (1646-1716) et Newton (1643-1727).